kaz44Вестник Университета Шакарима. Серия технические наукиBulletin of Shakarim University. Technical Sciences2788-79953006-0524«Шәкәрім университеті» КеАҚ10.53360/2788-7995-2026-2(22)-8kaz44-2477Research ArticleАВТОМАТИЗАЦИЯ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИАДАПТИВНОЕ РОБАСТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА С НЕОПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ОБРАТНОЙ СВЯЗИADAPTIVE ROBUST CONTROL OF SECOND-ORDER NONLINEAR SYSTEMS WITH UNDETERMINED PARAMETERS BASED ON THE BACKSTEPPING METHODhttps://orcid.org/0009-0003-5282-700XСейлхановаМ. Т.SeilkhanovaM.

Молдир Трусбековна Сейлханова – магистр, докторант кафедры «Математическое и компьютерное моделирование», 

010000, Астана қ., Сәтпаев көшесі, 2 

Moldir Seilkhanova – Master’s degree, doctoral student of the Department of Mathematical and Computer Modeling,

010000, Astana, Satpayev Street, 2

mbt_kz@mail.ruӘлімханҚ.AlimhanK.

Қилан Әлімхан – PhD, профессор кафедры «Математическое и компьютерное моделирование»,

010000, Астана қ., Сәтпаев көшесі, 2 

Keylan Alimhan – PhD, Professor of the Department of Mathematical and Computer Modeling, 

010000, Astana, Satpayev Street, 2

Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетіКазахстанL.N. Gumilyov Eurasian National UniversityKazakhstan20262907202602(22)8089Copyright © Сейлханова М.Т., Әлімхан Қ., 20262026Сейлханова М.Т., Әлімхан Қ.Seilkhanova M., Alimhan K.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://tech.vestnik.shakarim.kz/jour/article/view/2477

В статье исследуется проблема управления нелинейным жестким объектом класса обратной связи с неопределенными параметрами и внешними воздействиями. Основная цель исследования – разработка адаптивного алгоритма управления, обеспечивающего робастность системы и гарантирующего крупномасштабное равномерное ограничение всех сигналов.

Для компенсации неизвестных динамических функций используется метод рекурсивного синтеза (бэкстеппинга) и законы адаптивной аппроксимации в сочетании. Крупномасштабная устойчивость замкнутой системы доказана аналитически с использованием метода функций Ляпунова, и показано, что ошибка управления сходится к ограниченной окрестности нуля.

В результате исследования была сформулирована задача управления для нелинейных систем второго порядка со строгой обратной связью, неопределенными параметрами и ограниченными внешними воздействиями, и конструктивно показано, что эта задача может быть решена с помощью адаптивно-робастного управления. В частности, на основе метода обратной связи было введено существование закона управления, обеспечивающего управление заданной эталонной траекторией, и предложен пошаговый метод его создания: сначала создавалось виртуальное управление, а затем определялись адаптивные законы управления. Устойчивость замкнутой системы, равномерная ограниченность всех сигналов и сходимость ошибки управления к ограниченной окрестности нуля были доказаны с помощью метода функций Ляпунова. Таким образом, в работе представлен не только отдельный алгоритм управления, но и теоретический и конструктивный подход, обосновывающий разрешимость задачи управления для класса неопределенных нелинейных систем.

Для проверки предложенного метода на практике было проведено численное моделирование динамики одно суставного робота-манипулятора. Результаты показали, что предложенный адаптивный алгоритм обратной связи поддерживает ограниченный режим движения системы в случае внезапного изменения параметра нагрузки и наличия внешних воздействий. Было проведено численное сравнение показателей среднеквадратичной ошибки (MSE), максимальной ошибки и времени установления, и было установлено, что качество управления зависит от выбора параметров алгоритма. Этот метод может быть использован для управления мехатронными и роботизированными системами с неопределенностью параметров, но перед практическим применением требуется дополнительная настройка коэффициентов управления.

The article investigates the control problem for a class of nonlinear strict-feedback systems with uncertain parameters and external disturbances. The main objective of the study is to develop an adaptive control algorithm that ensures system robustness and guarantees semi-global uniform boundedness of all signals.

To compensate for unknown dynamic functions, the recursive synthesis method, namely backstepping, is combined with adaptive approximation laws. The semi-global stability of the closed-loop system is analytically proven using the Lyapunov function method, and it is shown that the tracking error converges to a bounded neighborhood of zero.

As a result of the study, the control problem is formulated for second-order nonlinear strict-feedback systems with uncertain parameters and bounded external disturbances, and it is constructively demonstrated that this problem can be solved by means of adaptive robust control. In particular, the existence of a control law ensuring tracking of a given reference trajectory is established on the basis of the backstepping method, and a step-by-step synthesis procedure for its construction is proposed: first, a virtual control is designed, and then adaptive control laws are defined. Using the Lyapunov function method, the stability of the closed-loop system, the uniform boundedness of all signals, and the convergence of the tracking error to a bounded neighborhood of zero are proven. Thus, the work proposes not only a specific control algorithm, but also a theoretical and constructive approach that substantiates the solvability of the control problem for a class of uncertain nonlinear systems.

To verify the proposed method in practice, numerical simulation was carried out for the dynamics of a single-link robotic manipulator. The results showed that the proposed adaptive backstepping algorithm preserves the bounded motion mode of the system under sudden changes in the load parameter and in the presence of external disturbances. A numerical comparison was performed using the MSE, maximum error, and settling time criteria, and it was found that the control performance depends on the choice of algorithm parameters. The proposed method can be applied to the control of mechatronic and robotic systems with parametric uncertainty; however, additional tuning of the control gains is required before practical implementation.

нелинейная системакласс обратной связиробастное управлениеадаптивное управлениефункция ЛяпуноваPID-регуляторnonlinear systemfeedback classrobust controladaptive controlLyapunov functionPID controllerReferencesRobust output control of twin rotor nonlinear multichannel object / S.A. Vrazhevsky et al // Journal of Instrument Engineering. – 2018. – Vol. 61, № 1. – P. 32-40.Robust output control of twin rotor nonlinear multichannel object / S.A. Vrazhevsky et al // Journal of Instrument Engineering. – 2018. – Vol. 61, № 1. – P. 32-40.Unmanned aerial vehicles: control methods and future challenges / Z. Zuo et al // IEEE/CAA J. Autom. Sinica. – 2022. – Vol. 9. – P. 601-614.Unmanned aerial vehicles: control methods and future challenges / Z. Zuo et al // IEEE/CAA J. Autom. Sinica. – 2022. – Vol. 9. – P. 601-614.Boundary control of a rotating and length-varying flexible robotic manipulator system / Y. Liu et al // IEEE Trans. Syst. Man Cybern. Syst. – 2022. – Vol. 52. – P. 377-386.Boundary control of a rotating and length-varying flexible robotic manipulator system / Y. Liu et al // IEEE Trans. Syst. Man Cybern. Syst. – 2022. – Vol. 52. – P. 377-386.Adaptive backstepping control of high-order fully actuated nonlinear systems with event-triggered strategy / C. Yan et al // Intelligence & Robotics. – 2023. – Vol. 3(2). – P. 176-189.Adaptive backstepping control of high-order fully actuated nonlinear systems with event-triggered strategy / C. Yan et al // Intelligence & Robotics. – 2023. – Vol. 3(2). – P. 176-189.Wen G. Simplified optimized backstepping control for a class of nonlinear strict-feedback systems with unknown dynamic functions / G. Wen, C. Chen, S. Ge // IEEE Trans. Cybern. – 2021. – Vol. 51. – P. 4567-4580.Wen G. Simplified optimized backstepping control for a class of nonlinear strict-feedback systems with unknown dynamic functions / G. Wen, C. Chen, S. Ge // IEEE Trans. Cybern. – 2021. – Vol. 51. – P. 4567-4580.Backstepping-Based adaptive control of a class of uncertain incommensurate fractional-order nonlinear systems / X. Li et al // IEEE Trans. Ind. Electron. – 2022. – Vol. 69. – P. 4087-4095.Backstepping-Based adaptive control of a class of uncertain incommensurate fractional-order nonlinear systems / X. Li et al // IEEE Trans. Ind. Electron. – 2022. – Vol. 69. – P. 4087-4095.Adaptive Backstepping Terminal Sliding Mode Control of Nonlinear System Using Fuzzy Neural Structure / X. Gong et al // Mathematics. – 2023. – Vol. 11(5). – P. 1094.Adaptive Backstepping Terminal Sliding Mode Control of Nonlinear System Using Fuzzy Neural Structure / X. Gong et al // Mathematics. – 2023. – Vol. 11(5). – P. 1094.Duan G. High-order fully actuated system approaches: Part I. Models and basic procedure / G. Duan // Int. J. Syst. Sci. – 2021. – Vol. 52. – P. 422-435.Duan G. High-order fully actuated system approaches: Part I. Models and basic procedure / G. Duan // Int. J. Syst. Sci. – 2021. – Vol. 52. – P. 422-435.Duan G. High-order fully actuated system approaches: Part III. Robust control and high-order backstepping / G. Duan // Int. J. Syst. Sci. – 2021. – Vol. 52. – P. 952-971.Duan G. High-order fully actuated system approaches: Part III. Robust control and high-order backstepping / G. Duan // Int. J. Syst. Sci. – 2021. – Vol. 52. – P. 952-971.Adaptive Fixed-Time Control of Strict-Feedback High-Order Nonlinear Systems / Y. Li et al // Entropy. – 2021. – Vol. 23(8). – P. 963.Adaptive Fixed-Time Control of Strict-Feedback High-Order Nonlinear Systems / Y. Li et al // Entropy. – 2021. – Vol. 23(8). – P. 963.Khalil H.K. Nonlinear Systems., 3rd ed. / H.K. Khalil // Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2002.Khalil H.K. Nonlinear Systems., 3rd ed. / H.K. Khalil // Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2002.Slotine J.J.E., Li W. Applied Nonlinear Control., NJ: Prentice-Hall, 1991.Slotine J.J.E., Li W. Applied Nonlinear Control., NJ: Prentice-Hall, 1991.Hou Z. On model-free adaptive control and its stability analysis / Z. Hou, S. Xiong // IEEE Trans. Automat. Contr. – 2019. – Vol. 64. – P. 4555-4569.Hou Z. On model-free adaptive control and its stability analysis / Z. Hou, S. Xiong // IEEE Trans. Automat. Contr. – 2019. – Vol. 64. – P. 4555-4569.Duan G. High-order fully actuated system approaches: Part V. Robust adaptive control / G. Duan // Int. J. Syst. Sci. – 2021. – Vol. 52. – P. 2129-2143.Duan G. High-order fully actuated system approaches: Part V. Robust adaptive control / G. Duan // Int. J. Syst. Sci. – 2021. – Vol. 52. – P. 2129-2143.Utkin V.I. Sliding Modes in Control and Optimization., Berlin: Springer-Verlag, 1992.Utkin V.I. Sliding Modes in Control and Optimization., Berlin: Springer-Verlag, 1992.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.