kaz44Вестник Университета Шакарима. Серия технические наукиBulletin of Shakarim University. Technical Sciences2788-79953006-0524«Шәкәрім университеті» КеАҚ10.53360/2788-7995-2026-1(21)-25kaz44-2420Research ArticleМАШИНОСТРОЕНИЕ И МЕХАНИКА (ОРИГИНАЛЬНАЯ СТАТЬЯ)MECHANICAL ENGINEERING AND MECHANICS (ORIGINAL ARTICLE)МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И АНАЛИЗ ДВУХКОНТУРНОЙ СИСТЕМЫ РУЛЕВОГО УПРАВЛЕНИЯ МОБИЛЬНОГО РОБОТА С ГЕОМЕТРИЕЙ АККЕРМАНАMATHEMATICAL MODEL AND ANALYSIS OF A TWO-LOOP STEERING CONTROL SYSTEM FOR A MOBILE ROBOT WITH ACKERMANN GEOMETRYhttps://orcid.org/0000-0002-0089-7036ИсмайыловА. Е.IsmayilovA.

Аманкелди Есиркегенович Исмайылов – Сеньор-лектор 

050012, г. Алма-Ата, ул. Толе би, д. 100

Amankeldi Ismayilov – Senior-Lecturer,

box1_email61@mail.ruhttps://orcid.org/0000-0003-0013-8272АйтугановаЖ. Т.AituganovaZh.

Жамила Темирбаевна Айтуганова – докторант; Сеньор-лектор 

050012, г. Алма-Ата, ул. Толе би, д. 100;050040, г. Алма-Ата, пр. аль-Фараби, д. 71

Zhamila Aituganova – doctoral student; Senior-Lecturer 

050012, Almaty, Tole bi St., 100;050040, Almaty, al-Farabi Ave., 71

zhamila_a77@mail.ruhttps://orcid.org/0009-0000-5668-2563ПолатоваЖ. Б.PolatovaZh.

Жансая Бактыбаевна Полатова – Сеньор-лектор 

050012, г. Алма-Ата, ул. Толе би, д. 100

Polatova Zhansaya – Senior-Lecturer 

050012, Almaty, Tole bi St., 100

zh.polatova@atu.edu.kzhttps://orcid.org/0009-0001-5841-376XСыдыковаМ. М.SydykovaM.

Мадина Мукатаевна Сыдыкова – Сеньор-лектор 

050012, г. Алма-Ата, ул. Толе би, д. 100

Madina Sydykova – Senior-Lecturer 

050012, Almaty, Tole bi St., 100

m.sydykova@atu.edu.kzАлматинский технологический университетКазахстанAlmaty Technological UniversityKazakhstanАлматинский технологический университет; Казахский национальный университет имени аль-ФарабиКазахстанAlmaty Technological University; Al-Farabi Kazakh National UniversityKazakhstan20262505202611(21)235245Copyright © Исмайылов А.Е., Айтуганова Ж.Т., Полатова Ж.Б., Сыдыкова М.М., 20262026Исмайылов А.Е., Айтуганова Ж.Т., Полатова Ж.Б., Сыдыкова М.М.Ismayilov A., Aituganova Z., Polatova Z., Sydykova M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://tech.vestnik.shakarim.kz/jour/article/view/2420

В статье разработана и исследована математическая модель двухконтурного рулевого механизма мобильного робота с геометрией Аккермана, направленная на повышение точности следования заданной траектории в условиях внешних возмущений и шумов измерений. Внутренний контур реализует классическую геометрию Аккермана, обеспечивающую согласованность углов поворота передних управляемых колёс и минимизацию бокового проскальзывания. Внешний контур представляет собой корректирующую систему управления, основанную на пропорционально-дифференциальном (ПД) регуляторе, которая компенсирует ошибки положения и ориентации, возникающие из-за люфтов, инерционных эффектов, неточностей модели и погрешностей сенсоров. Проведён аналитический анализ устойчивости замкнутой системы на основе функции Ляпунова, доказано, что при положительных значениях коэффициентов ПД-регулятора обеспечивается асимптотическая устойчивость и стремление ошибок положения и ориентации к нулю. Для численной проверки разработанной модели выполнено моделирование в среде MATLAB R2023b с использованием параметров реальных автономных платформ (Clearpath Husky, Jackal, Scout Mini). Рассмотрены различные сценарии движения: S-образная и дугообразная траектории, наличие шумов IMU и одометрии, а также ограничение угла рулевого привода. Результаты моделирования показали, что предложенная двухконтурная структура управления снижает среднеквадратическую ошибку следования траектории на 38-52%, уменьшает максимальную ошибку на 44% и повышает устойчивость к шумам и вомущениям. Разработанная система обеспечивает плавное, устойчивое движение и демонстрирует перспективность для применения в автономных транспортных средствах, роботизированных платформах и интеллектуальных системах навигации.

This paper presents the development and investigation of a mathematical model of a two-loop steering control system for a mobile robot with Ackermann geometry, aimed at improving trajectory tracking accuracy under external disturbances and measurement noise. The inner control loop implements the classical Ackermann geometry, ensuring coordinated steering angles of the front wheels and minimizing lateral slip. The outer loop represents a corrective control system based on a proportional-derivative (PD) controller, which compensates for position and orientation errors caused by mechanical backlash, inertial effects, model inaccuracies, and sensor measurement errors. An analytical stability analysis of the closed-loop system was conducted using the Lyapunov function method. It is proven that for positive values of the PD controller gains, asymptotic stability is guaranteed, and the position and orientation errors converge to zero. To numerically validate the proposed model, simulations were performed in the MATLAB R2023b environment using parameters of real autonomous platforms such as Clearpath Husky, Jackal, and Scout Mini. Various motion scenarios were considered, including S-shaped and curved trajectories, IMU and odometry noise, as well as steering angle constraints. Simulation results demonstrate that the proposed two-loop control architecture reduces the root mean square trajectory tracking error by 38-52%, decreases the maximum tracking error by 44%, and improves robustness to noise and disturbances. The developed system ensures smooth and stable motion and shows strong potential for application in autonomous vehicles, robotic platforms, and intelligent navigation systems.

Аккерманмобильный роботрулевой механизмдвухконтурное управлениеПД-регуляторфункция ЛяпуноваMATLAB-моделированиеавтономные транспортные системыAckermann geometrymobile robotsteering mechanismtwo-loop controlPD controllerLyapunov functionMATLAB simulationautonomous vehicle systemsReferencesSilvera G. Vehicle modeling and Ackermann steering geometry for mobile robots / G. Silvera, R. Ribeiro, J.R. de Lima // IEEE Latin America Transactions. – 2020. – Vol. 18, № 6. – P. 1074- 1081. https://doi.org/10.1109/TLA.2020.9099757.Silvera G. Vehicle modeling and Ackermann steering geometry for mobile robots / G. Silvera, R. Ribeiro, J.R. de Lima // IEEE Latin America Transactions. – 2020. – Vol. 18, № 6. – P. 1074- 1081. https://doi.org/10.1109/TLA.2020.9099757.Rajamani R. Vehicle Dynamics and Control / R. Rajamani // 2nd ed. – New York: Springer, 2012. – 498 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4614-1433-9.Rajamani R. Vehicle Dynamics and Control / R. Rajamani // 2nd ed. – New York: Springer, 2012. – 498 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4614-1433-9.Siegwart R. Introduction to Autonomous Mobile Robots / R. Siegwart, I. Nourbakhsh, D. Scaramuzza // 2nd ed. – Cambridge, MA: MIT Press, 2011. – 472 p.Siegwart R. Introduction to Autonomous Mobile Robots / R. Siegwart, I. Nourbakhsh, D. Scaramuzza // 2nd ed. – Cambridge, MA: MIT Press, 2011. – 472 p.A survey of motion planning and control techniques for self-driving urban vehicles / B. Paden et al // IEEE Transactions on Intelligent Vehicles. – 2016. – Vol. 1, № 1. – P. 33-55. https://doi.org/10.1109/TIV.2016.2578706.A survey of motion planning and control techniques for self-driving urban vehicles / B. Paden et al // IEEE Transactions on Intelligent Vehicles. – 2016. – Vol. 1, № 1. – P. 33-55. https://doi.org/10.1109/TIV.2016.2578706.Karginov G. Ackermann steering control for autonomous mobile robots / G. Karginov, K. Zonov // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. – 2021. – Vol. 1061. – 012015. https://doi.org/10.1088/1757-899X/1061/1/012015.Karginov G. Ackermann steering control for autonomous mobile robots / G. Karginov, K. Zonov // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. – 2021. – Vol. 1061. – 012015. https://doi.org/10.1088/1757-899X/1061/1/012015.A review of motion planning techniques for automated vehicles / D. González et al // IEEE Transactions on Intelligent Transportation Systems. – 2016. – Vol. 17, № 4. – P. 1135-1145. https://doi.org/10.1109/TITS.2015.2498841.A review of motion planning techniques for automated vehicles / D. González et al // IEEE Transactions on Intelligent Transportation Systems. – 2016. – Vol. 17, № 4. – P. 1135-1145. https://doi.org/10.1109/TITS.2015.2498841.A stable tracking control method for an autonomous mobile robot / Y. Kanayama et al // Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation (ICRA). – 1990. – P. 384-389. https://doi.org/10.1109/ROBOT.1990.126000.A stable tracking control method for an autonomous mobile robot / Y. Kanayama et al // Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation (ICRA). – 1990. – P. 384-389. https://doi.org/10.1109/ROBOT.1990.126000.Thrun S. Probabilistic Robotics / S. Thrun, W. Burgard, D. Fox // Cambridge, MA: MIT Press, 2005. – 657 p.Thrun S. Probabilistic Robotics / S. Thrun, W. Burgard, D. Fox // Cambridge, MA: MIT Press, 2005. – 657 p.Springer Handbook of Robotics / B. Siciliano et al // 2nd ed. – Springer, 2016. – 1626 p.Springer Handbook of Robotics / B. Siciliano et al // 2nd ed. – Springer, 2016. – 1626 p.Gao Y. Path tracking control of unmanned ground vehicles based on curvature and yaw stabilization / Y. Gao, S. Li, Z. Li // Robotics and Autonomous Systems. – 2018. – Vol. 102. – P. 80- 95. https://doi.org/10.1016/j.robot.2018.01.004.Gao Y. Path tracking control of unmanned ground vehicles based on curvature and yaw stabilization / Y. Gao, S. Li, Z. Li // Robotics and Autonomous Systems. – 2018. – Vol. 102. – P. 80- 95. https://doi.org/10.1016/j.robot.2018.01.004.Sriram A. Ackermann steering-based vehicle with robust tracking control / A. Sriram, K. Krishna // Robotics and Autonomous Systems. – 2019. – Vol. 119. – P. 77-88. https://doi.org/10.1016/j.robot.2019.06.004.Sriram A. Ackermann steering-based vehicle with robust tracking control / A. Sriram, K. Krishna // Robotics and Autonomous Systems. – 2019. – Vol. 119. – P. 77-88. https://doi.org/10.1016/j.robot.2019.06.004.Clearpath Robotics. Husky Unmanned Ground Vehicle – Technical Specifications. – 2023. https://clearpathrobotics.com (data obrashcheniya: 25.11.2025).Clearpath Robotics. Husky Unmanned Ground Vehicle – Technical Specifications. – 2023. https://clearpathrobotics.com (data obrashcheniya: 25.11.2025).Clearpath Robotics. Jackal Unmanned Ground Vehicle – Datasheet. – 2023. https://clearpathrobotics.com (data obrashcheniya: 25.11.2025).Clearpath Robotics. Jackal Unmanned Ground Vehicle – Datasheet. – 2023. https://clearpathrobotics.com (data obrashcheniya: 25.11.2025).MicroStrain Technologies. IMU Sensors Product Catalog. – 2022. https://www.microstrain.com (data obrashcheniya: 25.11.2025).MicroStrain Technologies. IMU Sensors Product Catalog. – 2022. https://www.microstrain.com (data obrashcheniya: 25.11.2025).MathWorks. Modeling and Simulation of Mobile Robots with Ackermann Steering. MATLAB Documentation. – 2024. https://www.mathworks.com (data obrashcheniya: 25.11.2025).MathWorks. Modeling and Simulation of Mobile Robots with Ackermann Steering. MATLAB Documentation. – 2024. https://www.mathworks.com (data obrashcheniya: 25.11.2025).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.