kaz44Вестник Университета Шакарима. Серия технические наукиBulletin of Shakarim University. Technical Sciences2788-79953006-0524«Шәкәрім университеті» КеАҚ10.53360/2788-7995-2026-1(21)-13kaz44-2286Research ArticleАВТОМАТИЗАЦИЯ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ (ОРИГИНАЛЬНАЯ СТАТЬЯ)AUTOMATION AND INFORMATION TECHNOLOGY (ORIGINAL ARTICLE)ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИЙ ПОЛЕТА БЕСПИЛОТНЫХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ С УЧЕТОМ КОНЕЧНЫХ УСЛОВИЙOPTIMIZATION OF FLIGHT TRAJECTORIES OF UNMANNED AERIAL VEHICLES WITH GIVEN FINAL CONDITIONShttps://orcid.org/0009-0007-4860-9244КутпановаЗ. А.KutpanovaZ. А.

Зарина Алмабековна Кутпанова – магистр, преподаватель кафедры компьютерное инженерия 

010000, г. Астана, проспект Мәңгілік Ел, 55/11

010000, Astana,Mangilik El, 55/11

zarina.almabekkyzy@gmail.comhttps://orcid.org/0000-0002-4327-3899КожахметоваД. О.KozhakhmetovaD. O.

Динара Ошановна Кожахметова – PhD, ассоциированный профессор кафедры «Автоматизация и информационные технологии» 

071412, г. Семей, Глинки, 20 А

071412, Semey, Glinka, 20 A

d.kojahmetova@shakarim.kzСулейменовК. М.SuleymenovK. M.

Кенесары Машимович Сулейменов – PhD, кандидат физико-математических наук кафедры «Математическое и компьютерное моделирование» 

10000, г. Астана, Сатбаева 2

10000, Astana, Stepaeva 2

kenessarymath@gmail.comhttps://orcid.org/0009-0001-0154-0071БайсетовГ. Н.BaiseitovG. N.

Гани Нуралиевич Байсеитов – кандидат технических наук, профессор R&D центр «Казахстан инжиниринг» 

010000, г. Астана, Ауезова, 2

010000 Astana, Auezov Str. 2

https://orcid.org/0009-0000-2361-2542ШандроновД. Н.ShandronovD. N.

Дмитрий Шандронов – магистр, Военно-инженерный институт радиоэлектроники и связи, Министерства Обороны Республики Казахстан 

050040, г. Алматы, Жандосова, 53

Almaty, Zandosova, 53

shan_dima@mail.ruAstana IT UniversityКазахстанAstana IT UniversityKazakhstanШәкәрім университетіКазахстанShakarim UniversityKazakhstanЕвразийский Национальный университет им. Л.Н. ГумилеваКазахстанL.N. Gumilyov Eurasian National UniversityKazakhstanҚазақстан инжиниринг R&D центрКазахстанR&D Center «Kazakhstan Engineering»KazakhstanВоенно-инженерный институт радиоэлектроники и связиКазахстанMilitary Engineering Institute of Radio Electronics and CommunicationsKazakhstan20262505202611(21)118126Copyright © Кутпанова З.А., Кожахметова Д.О., Сулейменов К.М., Байсетов Г.Н., Шандронов Д.Н., 20262026Кутпанова З.А., Кожахметова Д.О., Сулейменов К.М., Байсетов Г.Н., Шандронов Д.Н.Kutpanova Z.А., Kozhakhmetova D.O., Suleymenov K.M., Baiseitov G.N., Shandronov D.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://tech.vestnik.shakarim.kz/jour/article/view/2286

Статья рассматривает актуальную проблему оптимизации траектории полёта беспилотных летательных аппаратов (БПЛА) с определенными конечными условиями. Представлен подход к построению оптимальной траектории БПЛА вдоль последовательных участков с использованием приближения по полиномиалу пятой степени. Разработана математическая модель, учитывающая особенности использования локальных инерционных координатных систем на каждом участке траектории. Предложен метод оптимизации движения, основанный на минимизации квадратической функциональности, характеризующей как точность достижения определенных точек, так и затраты энергии для управления. Решение проблемы оптимизации получено с использованием аналитического дизайна оптимального контроллера. Приведены аналитические выражения для определения оптимального бокового ускорения БПЛА, обеспечивающего требуемую точность позиционирования при минимальных затратах энергии. Рассмотрены особенности преобразования координат между секциями траектории для обеспечения непрерывности движения. Приведен практический пример расчета оптимальной траектории БПЛА при данных начальных условиях.

The article considers the urgent problem of optimizing the flight trajectory of unmanned aerial vehicles (UAVs) with given final conditions. An approach to constructing the optimal UAV trajectory along successive sections using approximation by a fifth-degree polynomial is presented. A mathematical model is developed that takes into account the features of using local inertial coordinate systems on each section of the trajectory. A motion optimization method is proposed based on minimizing the quadratic functional characterizing both the accuracy of reaching specified points and the energy costs for control. The solution to the optimization problem is obtained using analytical design of the optimal controller. Analytical expressions are given for determining the optimal lateral acceleration of the UAV, ensuring the required positioning accuracy with minimal energy costs. Features of coordinate transformation between trajectory sections to ensure continuity of motion are considered. A practical example of calculating the optimal UAV trajectory with given initial conditions is given.

беспилотные летательные аппаратыоптимизация траекторийполиномиальное приближениеинерциальные системы координатквадратично-функциональныеоптимальное управлениевыбранная траекторияunmanned aerial vehicletrajectory optimizationpolynomial approximationinertial coordinate systemsquadratic functionaloptimal controlsegmented trajectoryThis research was supported by the Science Committee of the Ministry of Education and Science of the Republic of Kazakhstan, grant number BR 249015/0224.ReferencesAlqudsi Y. UAV swarms: research, challenges, and future directions / Y. Alqudsi, M. Makaraci // Journal of Engineering and Applied Science. – 2025. – Vol. 72. – Р. 12. https://doi.org/10.1186/s44147-025-00582-3.Alqudsi Y. UAV swarms: research, challenges, and future directions / Y. Alqudsi, M. Makaraci // Journal of Engineering and Applied Science. – 2025. – Vol. 72. – Р. 12. https://doi.org/10.1186/s44147-025-00582-3.UAV Path planning trends from 2000 to 2024: A bibliometric analysis and visualization / Q. Wu et al / Drones. – 2025. – Vol. 9. – Р.128. https://doi.org/10.3390/drones9020128.UAV Path planning trends from 2000 to 2024: A bibliometric analysis and visualization / Q. Wu et al / Drones. – 2025. – Vol. 9. – Р.128. https://doi.org/10.3390/drones9020128.Online decision making and path planning framework for safe operation of unmanned aerial vehicles in urban scenarios / M. Quinones-Grueiro et al // International Journal of Prognostics and Health Management. – 2021. – Vol. 12. – Р. 3. https://doi.org/10.36001/ijphm.2021.v12i3.2953.Online decision making and path planning framework for safe operation of unmanned aerial vehicles in urban scenarios / M. Quinones-Grueiro et al // International Journal of Prognostics and Health Management. – 2021. – Vol. 12. – Р. 3. https://doi.org/10.36001/ijphm.2021.v12i3.2953.A spherical vector-based adaptive evolutionary particle swarm optimization for UAV path planning under threat conditions / Y. Liu et al // Scientific Reports. – 2025. – Vol. 15. – Р. 2116. https://doi.org/10.1038/s41598-025-85912-4.A spherical vector-based adaptive evolutionary particle swarm optimization for UAV path planning under threat conditions / Y. Liu et al // Scientific Reports. – 2025. – Vol. 15. – Р. 2116. https://doi.org/10.1038/s41598-025-85912-4.Performance analysis of hybrid optimization approach for UAV path planning control using FOPID-TID controller and HAOAROA algorithm / N. Basil et al // Scientific Reports. – 2025. – Vol. 15. – Р. 4840. https://doi.org/10.1038/s41598-025-86803-4.Performance analysis of hybrid optimization approach for UAV path planning control using FOPID-TID controller and HAOAROA algorithm / N. Basil et al // Scientific Reports. – 2025. – Vol. 15. – Р. 4840. https://doi.org/10.1038/s41598-025-86803-4.Rgg-pso+: Random geometric graphs based particle swarm optimization method for UAV path planning / Y. Liu et al // International Journal of Computational Intelligence Systems. – 2024. – Vol. 17. – Р. 127. https://doi.org/10.1007/s44196-024-00511-x.Rgg-pso+: Random geometric graphs based particle swarm optimization method for UAV path planning / Y. Liu et al // International Journal of Computational Intelligence Systems. – 2024. – Vol. 17. – Р. 127. https://doi.org/10.1007/s44196-024-00511-x.Zhao Y. Survey on computational-intelligence-based UAV path planning / Y. Zhao, Z. Zheng, Y. Liu // Knowledge-Based Systems. – 2018. – Vol. 158. – Р. 54-64. https://doi.org/10.1016/j.knosys.2018.05.033.Zhao Y. Survey on computational-intelligence-based UAV path planning / Y. Zhao, Z. Zheng, Y. Liu // Knowledge-Based Systems. – 2018. – Vol. 158. – Р. 54-64. https://doi.org/10.1016/j.knosys.2018.05.033.Aljalaud F. Optimizing Autonomous Multi-UAV Path Planning for Inspection Missions: A Comparative Study of Genetic and Stochastic Hill Climbing Algorithms / F. Aljalaud, Y. Alohali // Energies. – 2025. – Vol.18(1). – Р. 50. https://doi.org/10.3390/en18010050.Aljalaud F. Optimizing Autonomous Multi-UAV Path Planning for Inspection Missions: A Comparative Study of Genetic and Stochastic Hill Climbing Algorithms / F. Aljalaud, Y. Alohali // Energies. – 2025. – Vol.18(1). – Р. 50. https://doi.org/10.3390/en18010050.Enhanced Multi‐UAV Path Planning in Complex Environments With Voronoi‐Based Obstacle Modelling and Q‐Learning / W. Su et al // International Journal of Aerospace Engineering. – 2024. – Vol. 1. – Р. 5114696. https://doi.org/10.1155/2024/5114696.Enhanced Multi‐UAV Path Planning in Complex Environments With Voronoi‐Based Obstacle Modelling and Q‐Learning / W. Su et al // International Journal of Aerospace Engineering. – 2024. – Vol. 1. – Р. 5114696. https://doi.org/10.1155/2024/5114696.Hybrid PSO-HSA and PSO-GA algorithm for 3D path planning in autonomous UAVs / B. Abhishek et al // SN Applied Sciences. – 2020. – Vol. 2. – Р. 1-16. https://doi.org/10.1007/s42452-020-03498-0.Hybrid PSO-HSA and PSO-GA algorithm for 3D path planning in autonomous UAVs / B. Abhishek et al // SN Applied Sciences. – 2020. – Vol. 2. – Р. 1-16. https://doi.org/10.1007/s42452-020-03498-0.A Comprehensive Review of Energy-Efficient Techniques for UAV-Assisted Industrial Wireless Networks / Yijia Zhang et al // Energies. – 2024. – Vol. 17(18). – Р. 4737. https://doi.org/10.3390/en17184737.A Comprehensive Review of Energy-Efficient Techniques for UAV-Assisted Industrial Wireless Networks / Yijia Zhang et al // Energies. – 2024. – Vol. 17(18). – Р. 4737. https://doi.org/10.3390/en17184737.Pounds P. Modelling and control of a large quadrotor robot / P. Pounds, R. Mahony, P. Corke // Control Engineering Practice. – 2010. – Vol. 18. – Р. 691-699. https://doi.org/10.1016/j.conengprac.2010.02.008.Pounds P. Modelling and control of a large quadrotor robot / P. Pounds, R. Mahony, P. Corke // Control Engineering Practice. – 2010. – Vol. 18. – Р. 691-699. https://doi.org/10.1016/j.conengprac.2010.02.008.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.